공진 주파수
공진 주파수(Resonance Frequency)는 수동 소자의 교류(AC) 특성 중 하나입니다.
전류의 변화에 따라 전압이 바뀌는 L(유도성)과 전압의 변화에 따라 전류가 바뀌는 C(용량성)의 리액턴스 성분들이 서로 크기가 같아 상쇄되는 시점에 공진이 일어나게 됩니다.
우선 회로에서 사용되는 공진의 의미를 살펴보겠습니다.
공진이란?
어떤 구조물의 주기성과 신호의 주기성이 일치할 때, 그 주기에 해당하는 주파수의 에너지가 손실되지 않고 보존되거나 전달되는 것을 말하는 물리적 현상
따라서 공진 주파수란 '에너지가 손실없이 전달되는 특정 주파수' 라고 할 수 있습니다.
공진 주파수의 이러한 특징은 부하에 최대 전력을 전달하거나, 주파수 특성을 이용한 필터 설계 시 활용될 수 있습니다.
AC 전원과 LC 특성
AC 전원중 하나인 정현파의 일반식은 다음과 같습니다.
인덕터(L)의 경우 시간에 따른 전류의 변화가 곧 전압이 되고,
커패시터(C)의 경우 시간에 따른 전압의 변화가 곧 전류가 됩니다.
이를 통해 정현파 신호가 주어질 때, L과 C 소자의 전류와 전압은 서로 90도의 위상차이를 보인다는 것을 알 수 있습니다.
→ L의 경우 전류보다 전압이 앞서고, C의 경우 전압보다 전류가 앞서게 됩니다.
RLC 직렬 회로
복소 평면에서 임피던스는 실수부(저항)와 허수부(리액턴스)로 나타낼 수 있고, 그 식은 다음과 같습니다.
L과 C값에 따라 허수부인 리액턴스 값이 결정되며, L 성분이 크면 유도성이 되고, C 성분이 크면 용량성이 됩니다.
이 때, 리액턴스 성분이 서로 상쇄되어 없어지는 시점의 주파수가 바로 공진 주파수가 됩니다.
공진 주파수에서는 리액턴스 부분이 서로 상쇄되어 L과 C에 의한 전류 전압의 위상차는 사라지게 됩니다.
→ 리액턴스가 서로 상쇄 되었다 = 허수부가 0이 된다 = 전압과 전류의 위상차가 없다
RLC 직렬 회로에서 만약 저항성분(R)이 없다고 가정하면, L과 C는 에너지를 소모하지 않고 다만 충/방전을 통해 전달만 하기 때문에 LC로 이루어진 closed-loop에선 발진(oscillation)이 일어나게 됩니다.
아래는 기본적인 발진 회로인 LC tank circuit입니다.
하지만 실제로는 저항성분이 포함될 수 밖에 없고, 이로 인해 파형의 크기가 줄어드는 damping(감쇠) 현상이 나타납니다.
따라서 실제 발진 회로는 positive 피드백을 통해 damping으로 인한 손실을 보상해줍니다.
최대 전력 전달
전력 전달 관점에서 봤을 때, 공진 주파수를 맞추지 않게 되면 어떤 상황이 발생할까요?
위 예시에서 사용한 RLC 직렬 회로의 파형에 전력(Power = IV) 그래프를 추가해보겠습니다.
공진 주파수를 맞추지 않으면 전류와 전압의 위상차로 인해 음의 전력이 형성되는 구간이 존재하게 됩니다.
해당 구간에선 전원쪽으로 전력이 전달되기 때문에, 부하에 최대 전력을 전달하기 위해선 반드시 공진 주파수가 되게끔 임피던스를 매칭시켜줘야 합니다.
L과 C를 이용한 주파수 필터
L과 C는 각각의 리액턴스 성분으로 인해 주파수 관점에서 고유한 특징을 갖게 됩니다.
이를 활용해 만든 주파수 필터의 종류와 특징을 살펴보겠습니다.
저역통과필터, LPF(Low-Pass Filter)
특정 주파수 이하의 대역만 통과시키는 필터입니다.
아래와 같은 회로에서 각 임피던스에 대한 전압 분배식을 통해 전달함수를 구할 수 있습니다.
이 때 전달함수의 크기 즉, 이득이 약 0.7(= 1/루트2)배가 되는 지점의 주파수가 차단 주파수(Cut-off Frequency)가 됩니다.
또한 L과 R로도 동일한 특성의 LPF를 만들 수 있습니다.
고역통과필터, HPF(High-Pass Filter)
특정 주파수 이상의 대역만 통과시키는 필터입니다.
L과 R로 만든 회로는 다음과 같습니다.
대역통과필터, BPF(Band-Pass Filter)
L과 C를 함께 사용하면 특정 주파수 대역만 통과시키는 대역통과필터를 만들 수 있습니다.
Q는 'Quality Factor'로, 통과 대역인 B가 얼만큼 좁은지를 나타내며, Q가 클수록 BPF 필터링 특성이 좋습니다.
또한 LC 병렬 회로를 가지고도 BPF를 만들 수 있으며, 직렬 구성과 병렬 구성의 Q값은 서로 역수관계입니다.
대역차단필터, BSF(Bans-Stop Filter)
L과 C를 함께 사용하면 대역을 통과시키는 것 뿐만 아니라 차단시키는 것 또한 가능합니다.
* refs
https://blog.naver.com/analog_rf_circuit/223255759035
https://www.electronics-tutorials.ws/oscillator/colpitts.html